图像(MxN)的二维离散傅立叶变换可以将图像由空间域变换到频域中去，空间域中用x,y来表示空间坐标，频域由u,v来表示频率，二维离散傅立叶变换的公式如下：
在python中，numpy库的fft模块有实现好了的二维离散傅立叶变换函数，函数是fft2，输入一张灰度图，输出经过二维离散傅立叶变换后的结果，但是具体实现并不是直接用上述公式，而是用快速傅立叶变换。结果需要通过使用abs求绝对值才可以进行可视化，但是视觉效果并不理想，因为傅立叶频谱范围很大，所以要用log对数变换来改善视觉效果。
在使用log函数的时候，要写成log(1 + x) 而不是直接用log(x),这是为了避开对0做对数处理。
另外，图像变换的原点需要移动到频域矩形的中心，所以要对fft2的结果使用fftshift函数。最后也可以使用log来改善可视化效果。
代码如下：
1 import numpy as np 2 import matplotlib.pyplot as plt 3 4 img = plt.imread('photo.jpg') 5 6 #根据公式转成灰度图 7 img = 0.2126 * img[:,:,0] + 0.7152 * img[:,:,1] + 0.0722 * img[:,:,2] 8 9 #显示原图10 plt.subplot(231),plt.imshow(img,'gray'),plt.title('original')11 12 #进行傅立叶变换，并显示结果13 fft2 = np.fft.fft2(img)14 plt.subplot(232),plt.imshow(np.abs(fft2),'gray'),plt.title('fft2')15 16 #将图像变换的原点移动到频域矩形的中心，并显示效果17 shift2center = np.fft.fftshift(fft2)18 plt.subplot(233),plt.imshow(np.abs(shift2center),'gray'),plt.title('shift2center')19 20 #对傅立叶变换的结果进行对数变换，并显示效果21 log_fft2 = np.log(1 + np.abs(fft2))22 plt.subplot(235),plt.imshow(log_fft2,'gray'),plt.title('log_fft2')23 24 #对中心化后的结果进行对数变换，并显示结果25 log_shift2center = np.log(1 + np.abs(shift2center))26 plt.subplot(236),plt.imshow(log_shift2center,'gray'),plt.title('log_shift2center') 运行结果：
根据公式实现的二维离散傅立叶变换如下：
1 import numpy as np 2 import matplotlib.pyplot as plt 3 PI = 3.141591265 4 img = plt.imread('temp.jpg') 5 6 #根据公式转成灰度图 7 img = 0.2126 * img[:,:,0] + 0.7152 * img[:,:,1] + 0.0722 * img[:,:,2] 8 9 #显示原图10 plt.subplot(131),plt.imshow(img,'gray'),plt.title('original')11 12 #进行傅立叶变换，并显示结果13 fft2 = np.fft.fft2(img)14 log_fft2 = np.log(1 + np.abs(fft2))15 plt.subplot(132),plt.imshow(log_fft2,'gray'),plt.title('log_fft2')16 17 h , w = img.shape18 #生成一个同样大小的复数矩阵19 F = np.zeros([h,w],'complex128')20 for u in range(h):21 for v in range(w):22 res = 023 for x in range(h):24 for y in range(w):25 res += img[x,y] * np.exp(-1.j * 2 * PI * (u * x / h + v * y / w))26 F[u,v] = res27 log_F = np.log(1 + np.abs(F))28 plt.subplot(133),plt.imshow(log_F,'gray'),plt.title('log_F') 直接根据公式实现复杂度很高，因为是四重循环，时间复杂度为O(M2N2)，所以实际用的时候需要用快速傅立叶变换来实现
参考
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